함수의 합성과 종류

온도를 단위 변환한 뒤 표시 자릿수를 반올림하는 것과 먼저 반올림한 뒤 단위 변환하는 것은 다를 수 있습니다. 함수를 두 번 적용할 때 순서와 중간값이 맞는지 확인합니다.

합성은 오른쪽 함수부터

$f:A\to B$, $g:B\to C$이면 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$입니다. f(x)를 먼저 계산하여 g의 입력으로 넣습니다. 실수에서 f(x)=x+2,g(x)=3x라면 g∘f는 3x+6, f∘g는 3x+2입니다. 합성이 일반적으로 교환적이지 않음을 x=0으로도 확인할 수 있습니다.

합성할 때 첫 함수의 치역이 다음 함수의 정의역 안에 있어야 합니다. f(x)=-1인데 다음 함수가 비음수 입력의 제곱근만 받는다면 그 입력의 합성을 정의할 수 없습니다. 결합법칙은 $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$이고, 함수의 실행 순서를 바꾸지 않은 채 괄호만 바꾼다는 뜻입니다.

전단사 f,g의 합성 역함수는 $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$입니다. f 다음 g로 이동했으므로 g를 먼저 되돌린 뒤 f를 되돌립니다. f(x)=x+2와 g(x)=3x의 합성은 y=3x+6이고 역은 x=(y-6)/3입니다.

자주 만나는 함수들

항등함수 id(x)=x는 입력을 그대로 출력하고 합성의 중립 역할을 합니다. 상수함수 f(x)=c는 모든 입력을 같은 값에 보냅니다. 정의역 원소가 두 개 이상이면 단사가 아닙니다.

바닥함수 $\lfloor x\rfloor$는 x 이하의 가장 큰 정수, 천장함수 $\lceil x\rceil$는 x 이상의 가장 작은 정수입니다. $\lfloor-1.2\rfloor=-2$, $\lceil-1.2\rceil=-1$입니다. 소수 부분을 잘라 0 쪽으로 가는 계산과 바닥함수는 음수에서 다릅니다. 23개 물건을 5개씩 담을 상자 수는 $\lceil23/5\rceil=5$이고 완전히 채운 상자 수는 $\lfloor23/5\rfloor=4$입니다.

수열은 자연수 인덱스의 함수로 볼 수 있습니다. $a_n=2n+1$은 n=0부터 1,3,5,…를 만듭니다. 재귀 정의 $a_0=1$, $a_{n+1}=a_n+2$는 같은 수열을 이전 항에서 계산합니다. 시작값 없이 재귀식만 적으면 하나의 수열로 결정되지 않습니다.

선택 심화: 집합의 포함 여부를 나타내는 특성함수

전체집합 U의 부분집합 A에 대해 특성함수 $\chi_A:U\to\{0,1\}$는 x가 A에 속하면 1, 아니면 0을 출력합니다. A 밖의 원소에도 출력 0이 있으므로 정의역 U 전체에서 함수입니다. 이는 함수 자체가 정의되지 않는다는 뜻이 아닙니다.

U={1,2,3,4}, A={2,4}이면 입력 1,2,3,4의 출력은 차례로 0,1,0,1입니다. 합 기호로 쓰면 $\sum_{x\in U}\chi_A(x)=0+1+0+1=2=|A|$입니다. 유한 집합의 원소 수를 포함 여부 0·1의 합으로 계산한 것입니다.

집합 A,B의 교집합은 $\chi_{A\cap B}(x)=\chi_A(x)\chi_B(x)$로 읽습니다. 둘 다 1일 때만 곱이 1이기 때문입니다. 합집합을 단순히 더하면 겹친 원소에서 2가 되어 특성함수가 아닙니다. 보통 정수 연산에서는 $\chi_{A\cup B}=\chi_A+\chi_B-\chi_A\chi_B$로 중복을 빼야 합니다. 이항 시행의 지시변수도 사건의 포함 여부를 0·1 값으로 나타내는 같은 생각을 사용합니다.

스스로 풀어보기

문제 1. f(x)=x²,g(x)=x+1에 대해 (g∘f)(2),(f∘g)(2)를 계산하세요.

풀이: g(f(2))=g(4)=5, f(g(2))=f(3)=9입니다. 각각의 중간값을 쓰면 합성 기호를 단순 곱셈으로 읽는 실수를 피할 수 있습니다.

문제 2. $\lfloor-2.7\rfloor$, $\lceil-2.7\rceil$를 구하고 47개 항목을 한 페이지에 10개 표시할 때 필요한 페이지 수를 구하세요.

풀이: -2.7 이하 가장 큰 정수는 -3, 이상 가장 작은 정수는 -2입니다. 페이지는 마지막 7개도 보여야 하므로 $\lceil47/10\rceil=5$입니다. 바닥을 적용해 4라 하면 남은 항목이 누락됩니다.

문제 3. U={1,2,3,4}, A={2,4}, B={1,2}에서 x=2와 x=3의 $\chi_A(x),\chi_B(x),\chi_{A\cup B}(x)$를 구하세요. x=2에서 두 특성함수를 그냥 더하면 무엇이 틀리나요?

힌트: 입력이 두 집합에 각각 속하는지 표시한 뒤 합집합의 출력도 0 또는 1이어야 한다는 조건을 확인합니다.

풀이: x=2는 두 집합에 모두 속해 출력이 1,1,1입니다. 단순 합은 2라서 합집합의 특성함수가 아닙니다. 중복 보정 식은 1+1−1·1=1입니다. x=3은 두 집합 밖이므로 0,0,0이고 보정 식도 0+0−0·0=0입니다. 포함 여부와 개수를 세는 보통 덧셈을 구별합니다.

중간값의 집합이 맞지 않으면 정의역과 공역부터 확인합니다. 재귀식과 시작값은 귀납법의 증명 구조와 연결됩니다.