수의 체계와 연산의 조건

상품 수량은 3개라고 셀 수 있지만, 잔액은 -3일 수 있고 거리에는 3.5가 필요합니다. 값의 종류를 정하는 일은 어떤 연산을 허용할지 정하는 일과 연결됩니다. 이 절에서는 중학교의 사칙연산을 바탕으로 수의 집합을 구분하고, 계산 결과가 원래 집합에 남는지 판단합니다.

수를 담는 집합

이 교재에서 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$로 약속합니다. 자연수를 1부터 정의하는 자료도 있으므로 귀납법이나 개수를 다룰 때 시작값을 다시 표시합니다. 정수 $\mathbb Z$에는 음의 정수도 들어갑니다. 유리수 $\mathbb Q$는 정수 $a,b$에 대해 $a/b$로 표현할 수 있는 수이며 $b\ne0$이어야 합니다.

$3/8=0.375$처럼 끝나는 소수와 $1/3=0.333\ldots$처럼 어느 자리부터 같은 블록이 반복되는 소수는 유리수입니다. 반대로 실수이지만 정수의 비로 표현할 수 없는 수가 무리수입니다. $\sqrt2$가 대표적입니다. 무리수의 소수 전개가 무한히 이어지고 결국 반복하지 않는다는 성질과, 숫자가 무작위라는 주장은 다릅니다. 규칙적으로 정의한 무리수도 있습니다.

실수 $\mathbb R$는 유리수와 무리수를 합친 집합입니다. 복소수 $\mathbb C$는 $a+bi$($a,b$는 실수, $i^2=-1$)로 나타냅니다. 실수는 $b=0$인 복소수이므로 복소수가 더 넓은 집합입니다.

숫자 모양보다 값으로 분류하기

$\sqrt{36}=6$은 자연수·정수·유리수·실수·복소수에 모두 속합니다. 집합들이 포함 관계에 있으므로 하나만 고르는 분류가 아닙니다. $-\sqrt9=-3$은 정수이지만 자연수는 아닙니다. $\sqrt{12}=2\sqrt3$은 무리수입니다. 제곱근 기호가 보인다는 이유만으로 무리수라고 판단할 수 없습니다.

기약분수는 분자와 분모의 최대공약수가 1인 표현입니다. $18/24$의 최대공약수는 6이고 둘 다 6으로 나누면 $3/4$입니다. 값은 그대로지만 불필요한 공통 인자를 없앴습니다.

닫힘과 연산 법칙

집합 $S$의 아무 두 원소에 연산을 적용해 결과도 항상 $S$에 남으면 그 연산에 대해 닫혀 있다고 합니다. 정수는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있지만 나눗셈에는 그렇지 않습니다. $1/2$는 정수가 아니기 때문입니다. 무리수끼리 곱해도 $\sqrt2\sqrt2=2$처럼 유리수가 될 수 있습니다.

교환법칙은 $a+b=b+a$, 결합법칙은 $(a+b)+c=a+(b+c)$, 분배법칙은 $a(b+c)=ab+ac$입니다. 뺄셈과 나눗셈에 교환법칙을 적용하면 $4-1=1-4$ 같은 거짓 식이 됩니다. 역원은 연산을 되돌리는 원소입니다. 덧셈의 역원은 $-a$, 0이 아닌 실수의 곱셈 역원은 $1/a$입니다. 0은 곱셈 역원이 없습니다.

복소수에서도 $i^2=-1$을 대입하면 계산할 수 있습니다. $(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=8-i$입니다. 실수부와 허수부를 각각 모으고 $i^2$ 항을 처리합니다.

긴 합·곱과 계승 기호를 펼쳐 읽기

$\sum$는 지정한 항들을 더하는 합 기호, $\prod$는 곱하는 곱 기호입니다. $\sum_{i=1}^{3}(2i-1)$에서는 아래의 i=1이 시작 인덱스, 위의 3이 마지막 인덱스입니다. i에 1,2,3을 차례로 넣어 얻은 항 1,3,5를 더하므로 9입니다. 같은 범위의 $\prod_{i=1}^{3}(2i-1)$은 1·3·5=15입니다. 인덱스는 수를 대신 넣는 자리 표시이며, 기호 자체와 곱하는 수가 아닙니다.

시작값이 2라면 $\sum_{i=2}^{4}i=2+3+4=9$처럼 2부터 넣습니다. 경계도 포함하므로 항은 4−2+1=3개입니다. $\sum_{x\in\{2,5\}}x=2+5=7$처럼 집합의 원소를 인덱스로 지정할 수도 있습니다. 이는 뒤에서 확률변수의 가능한 값별 합을 읽는 데 쓰입니다.

더하거나 곱할 항이 하나도 없는 빈합은 0, 빈곱은 1로 약속합니다. 다른 합에 아무 항도 더하지 않으면 그 값을 유지해야 하고, 다른 곱에 아무 인자도 곱하지 않으면 역시 그 값을 유지해야 하기 때문입니다. 따라서 $\sum_{i=1}^{0}i=0$, $\prod_{i=1}^{0}i=1$입니다. 범위가 비었다는 뜻이지 인덱스를 거꾸로 내려가며 계산한다는 뜻은 아닙니다.

0 이상의 정수 n의 계승(팩토리얼) n!은 1부터 n까지의 곱입니다. $4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24$이고 $n!=\prod_{i=1}^{n}i$입니다. 0!은 빈곱이므로 1입니다. n≥1이면 $n!=n(n-1)!$이어서 $5!/3!=5\cdot4=20$처럼 공통 곱을 약분할 수 있습니다. !는 느낌표나 부정 연산자가 아니라 이 계산 기호입니다. 합·곱 기호는 행렬 곱과 기댓값에, 계승은 순열과 조합에 다시 등장합니다.

스스로 풀어보기

문제 1. $0,-4,7/5,\sqrt{25},\sqrt5$를 위 수의 집합으로 분류하세요.

힌트: 먼저 값이 정수인지 확인하고 포함 관계를 따라갑니다.

풀이: 0과 5는 이 교재의 자연수이며 정수·유리수·실수·복소수에도 속합니다. -4는 정수부터, $7/5$는 유리수부터 포함됩니다. $\sqrt5$는 무리수·실수·복소수이고 유리수는 아닙니다. 자연수 정의가 1부터인 자료에서는 0의 자연수 여부만 달라집니다.

문제 2. 무리수 집합이 덧셈에 닫혀 있지 않다는 반례와, 양의 정수가 뺄셈에 닫혀 있지 않다는 반례를 쓰세요.

힌트: 상쇄되는 두 수를 찾습니다.

풀이: $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$에서 두 항은 무리수지만 결과는 유리수입니다. 양의 정수 2와 5에 대해 $2-5=-3$은 양의 정수가 아닙니다. 닫힘은 모든 경우를 요구하므로 반례 하나로 부정할 수 있습니다.

문제 3. $\sum_{i=2}^{4}(i+1)$, $\prod_{i=2}^{4}(i+1)$, $4!/2!$, $\prod_{i=1}^{0}(i+1)$을 각각 펼쳐 계산하세요.

힌트: 먼저 실제로 대입할 인덱스 목록을 적고, 합인지 곱인지 구별합니다. 마지막 범위에는 대입할 인덱스가 없습니다.

풀이: i=2,3,4에서 항은 3,4,5입니다. 합은 3+4+5=12, 곱은 3·4·5=60입니다. $4!/2!=(1\cdot2\cdot3\cdot4)/(1\cdot2)=12$입니다. 마지막은 빈곱이므로 1이며, 빈합의 0과 다릅니다.

분류가 어려우면 기호 대신 값을 계산해 보세요. 무리수의 증명은 증명 방법, 실제 컴퓨터의 오차는 수의 표현으로 이어집니다.