행렬의 연산과 행렬식

관계의 존재 여부나 여러 상품의 수량을 표에 담으면 한 번에 계산할 수 있습니다. 행렬은 이 표에 덧셈·곱셈 규칙을 정한 것입니다. 이 장은 선택 심화입니다. 기본 자습 경로에서 관계를 읽은 뒤 그래프를 먼저 읽어도 되지만, 관계·그래프의 행렬 계산을 이해하려면 이 절부터 익힙니다. 아래 수는 실수이고, 실행 예에서는 정확한 유리수를 사용합니다.

차원과 각 자리

m행 n열 행렬 A의 크기는 m×n이고 $a_{ij}$는 i행 j열 원소입니다. 같은 크기의 행렬끼리만 대응 자리의 합 A+B를 계산합니다. 상수 c를 곱하면 모든 자리에 c를 곱합니다. 전치 $A^T$는 행과 열을 맞바꿉니다. 예를 들어 $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$입니다. 전치 뒤의 (j,i) 자리에 원래 (i,j)가 있습니다.

A가 m×n, B가 n×p이면 AB는 m×p입니다. 결과의 i행 j열은 A의 i행과 B의 j열을 짝지어 곱한 뒤 더한 값 $\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$입니다. 가운데 차원 n이 같아야 하는 이유입니다. $\sum$의 범위가 낯설면 합 기호를 펼쳐 읽는 준비에서 k=1부터 n까지 각 곱을 더하는 방법을 먼저 복습합니다.

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}4&2\\10&4\end{pmatrix}.$$

예를 들어 (AB)₂₁=3·2+4·1=10입니다. BA는 (2,4),(4,6)을 행으로 갖는 행렬이므로 AB와 다릅니다. 행렬 곱은 일반적으로 교환적이지 않습니다. 단위행렬 I의 대각선은 1, 나머지는 0이고 AI=IA=A입니다.

행들이 독립이라는 뜻

한 행을 숫자들의 묶음인 행벡터로 읽습니다. 행벡터 $r_1,\ldots,r_m$에 실수 계수 $c_1,\ldots,c_m$를 곱해 더한 $c_1r_1+\cdots+c_mr_m$가 선형결합입니다. 대응하는 자리끼리 더하며, 모든 자리가 0인 벡터를 0으로 씁니다.

이 합이 0이 되는 계수 선택이 $c_1=\cdots=c_m=0$뿐이면 행들은 선형 독립입니다. 하나라도 0이 아닌 계수로 합을 0으로 만들 수 있으면 선형 종속입니다. 두 행이 같은지보다 넓은 조건입니다. 예를 들어 (2,1),(4,2)는 서로 다른 행이지만 $-2(2,1)+(4,2)=(0,0)$이므로 종속입니다. 세 행에서는 셋째가 앞 두 행의 합인 경우도 종속이며, 반드시 어느 두 행이 배수여야 하는 것은 아닙니다.

정사각행렬의 행이 종속이면 서로 독립된 입력 정보를 모두 되돌릴 수 없습니다. 이를 수 하나로 판단하는 행렬식이 다음 계산입니다.

행렬식은 정사각행렬의 수

2×2에서 $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$입니다. 위 A는 1·4−2·3=−2입니다. 실수 정사각행렬은 행렬식이 0일 때 행들이 선형 종속이고 역행렬이 없습니다. 행렬식이 0이 아니면 행들이 선형 독립이고 역행렬이 있습니다. 행렬식은 행렬 자체가 아니라 수 하나입니다.

3×3에서는 한 행의 여인수 전개를 사용합니다. $C=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\2&0&1\end{pmatrix}$를 첫 행에서 전개하면

$$\det C=1(1\cdot1-3\cdot0)-2(0\cdot1-3\cdot2)+0=1+12=13.$$

선택한 원소의 행·열을 지운 작은 행렬의 행렬식을 소행렬식이라고 합니다. C의 (1,2) 자리에서는 첫 행과 둘째 열을 지운 $\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix}$의 행렬식 −6을 구합니다. 첫 행의 +,−,+ 부호까지 곱한 여인수는 6입니다. 원래 원소 2와 곱해 행렬식에 12를 보탭니다.

선택 심화: 크기에 의존하지 않는 여인수 정의

n×n 행렬 A에서 i행 j열을 지운 행렬을 $A^{(i\mid j)}$로 쓰고, 여인수를 $K_{ij}=(-1)^{i+j}\det A^{(i\mid j)}$로 정의합니다. 부호는 행과 열의 번호를 함께 봅니다.

$$\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$$

행렬식은 1×1에서 $\det(a)=a$로 시작하고, n≥2에서 첫 행의 $\det A=\sum_{j=1}^n a_{1j}K_{1j}$로 작은 행렬식에 재귀적으로 내려가 계산할 수 있습니다. 예를 들어 4×4는 3×3, 그 뒤 2×2와 1×1로 줄어듭니다. n×n 역행렬 공식을 n=1까지 같은 표기로 쓰려면 빈 0×0 행렬의 행렬식을 1로 약속합니다. 그러면 1×1의 여인수도 1입니다.

첫 행 대신 다른 행이나 열로 전개해도 같은 행렬식을 얻습니다. 기본 성질은 행 둘을 교환하면 부호가 반대, 한 행을 c배 하면 c배, 다른 행의 배수를 한 행에 더하면 값 유지입니다. 행이 둘 같은 행렬은 그 둘을 교환해도 그대로인데 부호는 반대여야 하므로 행렬식이 0입니다. 각 행연산의 효과를 같은 것으로 기억하면 안 됩니다. 이 절은 일반 정의와 사용 이유를 소개하며, 다른 행 전개·행연산 성질의 모든 일반 증명까지 전개하지는 않습니다.

다음 절에서는 C의 아홉 여인수를 모두 계산하고 전치해 수반행렬을 만들며, 별도로 행연산을 끝까지 추적해 같은 역행렬인지 확인합니다.

스스로 풀어보기

문제 1. A가 2×3, B가 3×4일 때 AB와 BA의 가능 여부·크기를 쓰세요.

풀이: AB는 가운데 3이 같아서 2×4입니다. BA는 3×4와 2×3의 가운데 4,2가 달라 정의되지 않습니다. 결과가 3×3이라는 식으로 바깥·가운데를 섞지 않습니다.

문제 2. $D=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}$의 행렬식과 두 행의 관계를 설명하세요.

힌트: 둘째 행이 첫째 행의 몇 배인지 봅니다.

풀이: 2·2−1·4=0이며 둘째 행은 첫째 행의 2배입니다. 첫 행을 r₁, 둘째를 r₂라 하면 −2r₁+r₂=0에서 계수(−2,1) 중 0이 아닌 값이 있으므로 선형 종속입니다. 두 행이 서로 다른 제약을 제공하지 않아 정보를 되돌릴 수 없습니다. 역행렬로 해결하려고 0으로 나누어서는 안 됩니다.

곱셈이 막히면 결과의 한 자리만 행·열로 계산하세요. 선택 심화 역행렬과 연립방정식에서 행렬식의 의미를 사용합니다.