함수와 일대일·전사

사용자 ID 하나를 입력하면 프로필 하나가 나온다고 정한 조회는 함수처럼 모델링할 수 있습니다. 한 ID에 결과 두 개가 대응하거나 입력 일부의 결과가 없으면 정한 정의역 위의 전체 함수가 아닙니다. 관계를 바탕으로 함수의 두 조건을 익힙니다.

입력마다 정확히 하나

함수 $f:A\to B$는 A의 모든 원소에 B의 원소 정확히 하나를 대응시킵니다. A는 정의역, B는 공역, 실제 출력들의 집합 $f(A)$는 치역입니다. f={ (1,a),(2,a),(3,b) }는 A={1,2,3}, B={a,b,c} 위의 함수이고 치역은 {a,b}입니다. 여러 입력이 같은 출력 a로 가는 것은 허용됩니다.

단사(일대일)란 $f(x)=f(y)$이면 x=y라는 뜻입니다. 서로 다른 입력의 출력이 겹치지 않습니다. 전사란 모든 b∈B에 대해 f(a)=b인 a∈A가 존재한다는 뜻이며 치역=공역입니다. 둘 다이면 전단사입니다. 위 f는 1과 2의 출력이 겹쳐 단사가 아니고 c가 빠져 전사도 아닙니다.

식이 같아도 집합이 바뀌면 성질이 바뀐다

$f(x)=x^2$를 실수→실수로 보면 f(1)=f(-1)이므로 단사가 아니고 음수가 출력되지 않아 전사도 아닙니다. 비음수 실수→비음수 실수로 제한하면 단사이면서 전사입니다. 함수의 식만 적어 놓고 역함수 여부를 정하지 않습니다.

유한 A,B에서 단사라면 |A|≤|B|, 전사라면 |A|≥|B|입니다. |A|>|B|인데 모든 출력을 서로 다르게 배정할 수 없는 것은 비둘기집 원리의 예입니다. 하지만 원소 수 조건만으로 실제 함수가 단사나 전사라고 판단할 수는 없습니다.

역함수는 전단사에서 정의된다

$f^{-1}:B\to A$가 모든 출력을 유일한 입력으로 되돌리려면 f가 전단사여야 합니다. 입력 두 개의 출력이 같으면 되돌릴 입력이 둘이고, 공역 중 빠진 출력이 있으면 되돌릴 입력이 없습니다. 역관계는 항상 정의할 수 있지만 이것이 항상 함수는 아닙니다.

스스로 풀어보기

문제 1. A={1,2,3}, B={a,b,c}, f(1)=b,f(2)=c,f(3)=a의 단사·전사를 판정하고 역함수를 적으세요.

풀이: 출력이 겹치지 않고 B를 모두 덮으므로 전단사입니다. 역함수는 a→3,b→1,c→2입니다. 역함수의 정의역은 원함수의 공역 B입니다.

문제 2. 정수→정수 함수 g(n)=2n은 단사인가요? 전사인가요?

풀이: 2x=2y에서 x=y이므로 단사입니다. 홀수 1은 2n 꼴로 나오지 않아 전사가 아닙니다. 공역을 짝수 집합으로 바꾸면 모든 짝수 2k의 원상 k가 있으므로 전사가 됩니다.

판정 전 정의역·공역·치역을 적으세요. 함수의 순서 있는 연결과 여러 종류는 합성함수로 이어집니다.