표본공간과 조건부확률

가능한 결과를 세었다고 곧바로 확률이 되는 것은 아닙니다. 각 결과가 같은 가능성을 갖는다는 가정이 필요합니다. 경우의 수와 집합을 사용해 확률의 표본공간과 사건을 만듭니다.

결과와 사건

시행에서 가능한 모든 결과의 집합이 표본공간 Ω, 그 부분집합이 사건 A입니다. 공정한 주사위에서는 Ω={1,2,3,4,5,6}이고 짝수 사건은 {2,4,6}입니다. 유한 표본공간의 각 결과가 같은 가능성일 때만 P(A)=|A|/|Ω|를 사용하여 1/2를 얻습니다. 편향된 주사위는 각 결과의 확률을 따로 더해야 합니다.

0≤P(A)≤1, P(Ω)=1입니다. 여사건의 확률은 P(Aᶜ)=1−P(A)입니다. 두 사건의 합집합 확률은 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$입니다. 배반은 교집합이 공집합이라는 뜻입니다. 배반이면 교집합 확률이 0이어서 마지막 항이 사라집니다. 역방향으로 교집합 확률이 0이라는 정보만으로 배반을 단정할 수는 없습니다.

예를 들어 Ω={1,2,3}에서 P(1)=0, P(2)=P(3)=1/2로 정하고 A={1,2}, B={1,3}로 두면 A∩B={1}은 비어 있지 않지만 확률은 0입니다. 합집합 확률은 1/2+1/2−0=1이어도 두 사건은 배반이 아닙니다. 유한 표본공간의 모든 결과가 양의 확률을 갖는 모델에서는 교집합이 한 원소라도 있으면 확률이 양수이므로, 교집합 확률 0에서 배반이라는 결론을 낼 수 있습니다. 공정한 유한 주사위는 이 조건을 만족합니다. 이 구분은 독립과 배반의 문제 2에서도 사용합니다.

세 사건의 중복을 정확히 고친다

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$

마지막은 세 사건의 교집합입니다. 공정한 주사위에서 A={1,2,3}, B={3,4}, C={3,5}로 두면 각 확률의 분자는 3,2,2이고 쌍 교집합은 모두 {3}, 삼중 교집합도 {3}입니다. (3+2+2−1−1−1+1)/6=5/6입니다. 합집합 {1,2,3,4,5}를 직접 세어 같은 값인지 확인할 수 있습니다.

조건은 표본공간을 줄인다

B가 일어났음을 안 뒤의 확률은 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$이며 P(B)>0이어야 합니다. 주사위에서 A=짝수, B=4 이상이면 B={4,5,6} 중 A에 속한 것은 {4,6}이라 2/3입니다. 원래 표본공간의 짝수 3개를 그대로 분자에 놓으면 B 밖의 2까지 세는 오류가 됩니다.

조건부확률로부터 $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$를 얻습니다. 일반적으로 P(A|B)와 P(B|A)는 다릅니다. 이 예에서는 P(B|A)=2/3로 우연히 같지만 A={6}, B={4,5,6}라면 P(A|B)=1/3, P(B|A)=1입니다.

스스로 풀어보기

문제 1. 공정한 주사위에서 A=짝수, B=3의 배수의 합집합 확률과 교집합 확률을 구하세요.

풀이: A={2,4,6}, B={3,6}, 교집합 {6}이라 1/6입니다. 합집합은 {2,3,4,6}이라 4/6=2/3이며 공식으로도 1/2+1/3−1/6=2/3입니다.

문제 2. 공정한 동전을 서로 독립적으로 두 번 던졌고 첫 결과가 앞면임을 압니다. 두 결과가 같은 사건의 조건부확률은 얼마인가요?

풀이: 네 결합 결과 HH,HT,TH,TT가 각각 1/4입니다. 조건을 만족하는 표본은 HH,HT이고 같은 것은 HH 하나이므로 1/2입니다. 원래 네 결과에서 같은 것 HH,TT 둘을 세면 TT가 조건 밖이라는 점을 놓칩니다. 조건에 맞는 결과부터 다시 나열합니다.

결과들이 동등하게 가능한지와 분모 사건의 확률이 0인지 먼저 확인하세요. 독립과 반복 시행에서 독립 조건을 따로 익힙니다. 추가 읽기는 OpenStax의 조건부확률 설명을 참고하세요.