독립과 반복 시행

동전의 첫 결과를 알면 다음 결과의 확률이 바뀔까요? 물건을 꺼내고 되돌려 놓지 않으면 다음 선택의 확률이 바뀔까요? 조건부확률을 바탕으로 독립의 조건과 연속 시행을 계산합니다.

독립과 배반은 다르다

A,B가 독립이면 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$입니다. P(B)>0인 경우 P(A|B)=P(A)와 같습니다. 배반은 동시에 일어날 수 없다는 뜻입니다. 양쪽 확률이 0보다 큰 배반 사건은 교집합 확률 0과 곱의 양수가 달라 독립일 수 없습니다.

주사위의 '짝수'와 '홀수'는 배반이고 독립이 아닙니다. 공정하고 서로 독립인 두 번의 동전에서 '첫째 앞면'과 '둘째 앞면'은 독립이며 둘 다 앞면 확률은 1/4입니다. 세 사건 이상은 쌍마다 독립이라는 조건만으로 전체 독립을 보장하지 못합니다. 필요한 모든 부분집합의 교집합 곱 조건이 추가됩니다.

복원 선택에서 독립성을 가정할 수 있는지 모델을 확인합니다. 빨강 2개·파랑 1개에서 두 번 비복원 추출의 둘 다 빨강 확률은 (2/3)(1/2)=1/3입니다. 같은 상태로 복원하며 동일하게 무작위 추출한다면 (2/3)²=4/9입니다. 둘째 분모와 분자가 바뀌는지를 살펴봅니다.

이항확률은 같은 p의 독립 시행

n번의 독립 시행에서 각 성공 확률이 같은 p일 때 정확히 k번 성공할 확률은 $\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$입니다. 특정 성공 위치 한 패턴의 확률이 곱 부분이고, 성공 위치를 고르는 경우 수가 조합 부분입니다. p가 매번 다르거나 시행이 의존하면 그대로 적용할 수 없습니다.

공정한 동전 3번에서 정확히 2번 앞면은 HHT,HTH,THH 세 패턴이라 3·(1/2)³=3/8입니다. 적어도 한 번 앞면은 1−(1/2)³=7/8입니다. 직전 여러 번 뒷면이 나왔다고 다음 앞면이 '만회해야 한다'는 주장은 독립 모델에서 맞지 않습니다.

전체 확률과 역방향 조건

서로소이며 전체를 덮고 각 P(Bᵢ)>0인 사건 B₁,…,Bₙ이면 $P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$입니다. 이를 분모로 쓰면 Bayes 식 $P(B_i\mid A)=P(B_i)P(A\mid B_i)/P(A)$를 얻습니다. P(A)>0 조건이 필요합니다. 확률 0인 분할 항은 제외하고 계산합니다.

간단한 가상 예제로 상자 1에는 빨강 2·파랑 1, 상자 2에는 빨강 1·파랑 2가 있습니다. 두 상자를 같은 확률로 고른 뒤 공 하나를 뽑으면 빨강 확률은 (1/2)(2/3)+(1/2)(1/3)=1/2입니다. 빨강을 관찰한 뒤 상자 1이었을 확률은 [(1/2)(2/3)]/(1/2)=2/3입니다. '빨강 확률 2/3'과 '상자 1일 확률 2/3'가 이 예에서는 수치가 같아도 서로 다른 조건을 계산한 것입니다.

스스로 풀어보기

문제 1. 성공확률 1/3인 독립 시행 3번에서 정확히 1번 성공할 확률을 구하세요.

풀이: 성공 위치 3개와 각 패턴 (1/3)(2/3)²를 곱해 4/9입니다. 성공확률 1/3을 세 번 더하면 다른 사건을 중복 세고 실패 위치도 빠뜨립니다.

문제 2. P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(A∩B)=0이면 독립인가요? 배반인가요?

풀이: 곱 1/6과 교집합 확률 0이 달라 독립이 아닙니다. 이 정보만으로 집합 교집합이 공집합이라고 단정할 수는 없습니다. 확률 0인 결과를 허용한 모델에서는 비어 있지 않은 교집합도 확률 0일 수 있습니다. 유한 동일 가능성 표본공간이라면 모든 결과의 확률이 양수라 교집합 확률 0에서 공집합·배반이라는 결론을 낼 수 있습니다.

확률을 곱하기 전 독립인지 조건부 확률인지 표시하세요. 성공 횟수와 평균·변동은 확률변수로 이어집니다.