집합의 표현과 연산

태그 A를 단 글과 태그 B를 단 글을 함께 찾을지, 둘 다 단 글만 찾을지에 따라 결과가 달라집니다. 집합은 이런 선택을 원소의 포함 여부로 표현합니다. 논리 연산을 먼저 읽으면 조건과 집합 연산의 연결을 이해하기 쉽습니다.

원소와 집합을 구분한다

$A=\{1,2,3\}$은 원소를 나열한 표현이고 $A=\{x\in\mathbb N\mid1\le x\le3\}$은 조건제시법입니다. 순서와 반복은 집합을 바꾸지 않으므로 $\{3,1,2,2\}=A$입니다. $1\in A$는 1이 A의 원소라는 뜻이고 $\{1\}\subseteq A$는 그 집합이 A의 부분집합이라는 뜻입니다. $\{1\}$ 자체가 A의 원소인 것은 아닙니다.

공집합 $\varnothing$에는 원소가 0개입니다. $\{\varnothing\}$에는 공집합이라는 원소가 1개입니다. A의 멱집합 $\mathcal P(A)$은 모든 부분집합의 집합입니다. $A=\{a,b\}$라면 $\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$로 4개입니다. n개 원소마다 포함·불포함 두 선택이 있어서 멱집합 크기는 $2^n$입니다.

연산은 포함 조건으로 정의한다

A∪B에는 A 또는 B에 속한 원소, A∩B에는 둘 다에 속한 원소가 들어갑니다. A−B에는 A에 있지만 B에는 없는 원소가 들어갑니다. 여집합 $A^c$는 전체집합 U에서 A를 뺀 집합이므로 U를 먼저 정해야 합니다.

U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3}, B={3,4}이면 A∪B={1,2,3,4}, A∩B={3}, A−B={1,2}, $A^c$={4,5}입니다. 대칭차 A△B는 정확히 한쪽에만 속한 원소들로 이루어진 집합 {1,2,4}입니다.

곱집합 A×B는 순서쌍 $(a,b)$ 전부의 집합입니다. A={1,2}, B={x,y}라면 (1,x),(1,y),(2,x),(2,y) 네 개입니다. 순서쌍의 첫 자리와 둘째 자리를 구분하므로 A×B와 B×A는 일반적으로 같지 않습니다. 관계를 다음 장에서 곱집합의 부분집합으로 정의합니다.

스스로 풀어보기

문제 1. A={1,3,5}, B={3,4,5}에서 A∩B, B−A, A△B를 구하세요.

풀이: 교집합은 {3,5}, B−A는 {4}, 대칭차는 {1,4}입니다. 3과 5는 양쪽에 있으므로 대칭차에서 빠집니다. 차집합은 방향을 바꾸면 결과가 달라집니다.

문제 2. $C=\{\varnothing,\{a\}\}$의 원소 수와 멱집합의 원소 수를 구하고 멱집합을 나열하세요.

힌트: C의 원소 두 개를 작은 기호 x,y로 잠시 이름 붙여 봅니다.

풀이: C에는 두 원소가 있고 멱집합에는 네 원소가 있습니다. $\mathcal P(C)=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{a\}\},\{\varnothing,\{a\}\}\}$입니다. 중괄호의 깊이는 집합이 다른 집합의 원소라는 정보를 담으므로 지우지 않습니다.

원소·부분집합 표기가 헷갈리면 1과 {1}을 별도로 그려 보세요. 연산 법칙과 분할은 집합의 대수에서 이어집니다.