추론 규칙과 논증의 타당성

'오류가 생기면 경고등이 켜진다. 경고등이 켜졌다. 따라서 오류가 생겼다.'는 그럴듯하지만 경고등이 다른 이유로 켜질 수도 있습니다. 이 절에서는 조건명제를 바탕으로 결론을 정당하게 이끌었는지 검사합니다.

전제와 결론

논증은 전제들에서 결론을 끌어내는 구조입니다. 전제가 모두 참인 모든 경우에 결론도 참이면 추론이 타당합니다. 타당하다는 말은 실제 전제가 참이라는 뜻이 아닙니다. 전제도 실제로 참이고 추론도 타당할 때 결론을 믿을 근거를 갖춥니다.

전제 $P\to Q$와 P에서 Q를 얻는 규칙이 긍정논법입니다. '입장권이 유효하면 입장 가능하다'와 '입장권이 유효하다'에서 '입장 가능하다'를 얻습니다. $P\to Q$와 $\neg Q$에서 $\neg P$를 얻는 부정논법은 대우의 형태입니다.

후건 긍정과 전건 부정은 왜 틀리나

$P\to Q$, Q에서 P를 얻는 후건 긍정은 타당하지 않습니다. P=거짓, Q=참이면 두 전제가 참인데 결론 P는 거짓입니다. 경고등 예에서 '오류가 없다, 점검 모드로 경고등이 켜졌다'가 이에 대응합니다.

$P\to Q$, $\neg P$에서 $\neg Q$를 얻는 전건 부정도 같은 행에서 실패합니다. 오류가 없다고 경고등이 꺼져야 할 이유는 없습니다. 예외를 떠올리는 감각을 진리표 한 행으로 정확하게 옮길 수 있습니다.

짧은 논증을 줄마다 확인하기

전제는 $P\to Q$, $Q\to R$, $\neg R$입니다. 먼저 둘째와 셋째로 $\neg Q$를 얻고(부정논법), 첫째와 $\neg Q$로 $\neg P$를 얻습니다(부정논법). 결론이 바로 눈에 보여도 중간 줄을 쓰면 어디에서 무엇을 사용했는지 검토할 수 있습니다.

양화사 추론에도 조건이 있습니다. 전체 명제 $\forall x P(x)$에서 특정한 a에 대한 P(a)를 얻을 수 있습니다. 존재 명제 $\exists x P(x)$에서 이미 지정한 아무 a에 대한 P(a)를 얻을 수는 없습니다. 존재하는 대상 하나를 새 이름으로 잡아 후속 논증을 하되, 그 대상에 없는 성질을 추가하면 안 됩니다.

스스로 풀어보기

문제 1. '$P\lor Q$, $P\to R$, $Q\to R$'에서 R을 얻는 논증을 설명하세요.

힌트: P인 경우와 Q인 경우를 나눕니다.

풀이: P가 참이면 전제 P→R을 사용해 R, Q가 참이면 전제 Q→R을 사용해 R을 얻습니다. $P\lor Q$가 적어도 한 경우를 보장하므로 R입니다. 둘 다 참인 경우에도 결론은 같습니다. 경우를 나누어 모든 전제 충족 행을 덮었습니다.

문제 2. '$P\to Q$, $\neg Q$, 따라서 $\neg P$'가 타당한지, '$P\to Q$, Q, 따라서 P'가 타당한지 판정하세요.

풀이: 첫째는 부정논법이라 타당합니다. Q가 거짓이면 조건명제가 참이려면 P도 거짓이어야 합니다. 둘째는 P=거짓, Q=참인 반례가 있어 부당합니다. 두 식을 대우와 역에 각각 연결해 비교하면 기억하기 쉽습니다.

반례 행을 못 찾으면 진리표를 다시 만듭니다. 추론을 여러 줄 연결하는 실제 작업은 증명에서 시작합니다.