기술통계·표본설계·추정

1. 평균 50 하나로 전체를 설명할 수 있을까

두 집단의 평균이 모두 50이어도 한 집단은 49~51에 모여 있고 다른 집단은 0과 100에 퍼져 있을 수 있다. 또 100명 중 편한 10명만 조사해 얻은 평균 50과 확률표본 10명의 평균 50은 같은 숫자라도 모집단에 대한 근거가 다르다.

이번 절은 공식을 다시 암기하는 절이 아니다. 앞 선수이론의 모집단·표본·평균·분산·표준오차를 가져와 누구를 어떤 방식으로 관찰했고, 어떤 전체에 대해 어디까지 말할 수 있는가를 설계한다.

모집단·표본·추정은 이미 배웠다

모집단·표본·추정에서는 모집단을 알고 싶은 대상 전체, 표본을 실제 관찰한 일부로 구분하고 표본통계량으로 모수를 추정했다. 이번 절은 표본을 어떻게 만들고 추정 결과를 업무 판단에 어떻게 보고할지 확장한다.

중심과 퍼짐은 함께 읽는다

앞 절에서 평균·분산·표준편차와 표준오차를 구분했다. 여기서는 그 계산을 반복 정의하지 않고 어떤 요약이 대상의 모양과 추정 불확실성을 숨기는지 판단한다.

가설검정의 오판위험을 먼저 되짚는다

앞의 가설검정·오판위험에서는 표본 결과가 귀무가설 아래 얼마나 이례적인지와 1종·2종 오류를 구별했다. 이번 절에서는 그 판단을 쓰기 전에 표본이 모집단을 어떻게 대표하고 추정이 얼마나 흔들리는지부터 확인한다.

검정 계산도 표본설계의 한계를 지우지 못한다

p값이나 검정오류를 계산해도 표본틀에서 빠진 집단이나 비응답 편향이 자동으로 복구되지는 않는다. 따라서 모집단·표본틀·추출절차와 추정의 불확실성을 먼저 고정한 뒤 검정 결과를 해석한다.

통계적 추론의 담당 경계

통계적 추론은 표본에서 관찰한 변동과 표본설계를 이용하여 모집단의 특성에 대해 불확실성을 포함한 판단을 만드는 과정이다.

기술통계는 관찰한 자료 자체를 요약한다. 추론은 표본이 만들어진 방법과 가정 아래 관찰하지 않은 모집단까지 말하려는 단계다. 다음 절의 가설검정은 이 표본·추정 계약 위에서 차이를 판단한다.

표본에서 모집단 판단까지의 경계

같은 평균이라도 모집단·표본틀·추출 절차가 다르면 추정의 의미와 한계가 달라진다.

2. 기술통계는 먼저 관찰한 자료의 모양을 정직하게 보여 준다

자료 수, 결측 수, 최소·최대, 중심과 퍼짐을 함께 본다. 비대칭 분포에서는 평균과 중앙값이 다르게 움직일 수 있고, 이상값 하나가 평균·분산에 큰 영향을 줄 수 있다. 따라서 대푯값 하나로 표를 끝내지 않는다.

ST-1: 평균은 같고 퍼짐은 다르다

A=49,50,50,50,51, B=0,50,50,50,100은 모두 평균 50이다. 그러나 A의 범위는 2, B의 범위는 100이다. 같은 평균이 같은 변동성을 뜻하지 않는다.

0과 100이 측정 오류인지 실제 관측인지 확인하기 전에는 임의로 삭제하지 않는다.

요약 통계의 역할을 나눈다

아래 IQR은 사분위범위(interquartile range)의 약어이며, 작은 값부터 정렬했을 때 75% 분위수에서 25% 분위수를 뺀 값이다. 가운데 절반의 퍼짐을 살피는 데 쓰며 평균 추정의 표준오차와 다르다. 예를 들어 1,2,3,4,5,6,7,8에 이 예에서 ‘비율×개수를 올림한 순위’ 규칙을 선택하면 25%는 둘째 값 2, 75%는 여섯째 값 6이므로 IQR은 4다. 이 자료의 전체 범위 8−1=7과 구별하고, 다른 분위수 계산 규칙을 썼다면 그 규칙을 함께 명시한다.

전체 평균이 집단의 반대 움직임을 숨길 수 있다

지역 A의 성공률이 90%, 지역 B가 30%인데 표본 구성비가 시기마다 달라지면 전체 성공률 변화가 각 지역 변화와 다른 방향으로 보일 수 있다. 전체와 주요 집단의 분모를 같이 보고 구성 변화인지 실제 성과 변화인지 구분한다.

3. 표본설계가 어떤 모집단을 추정할 수 있는지 정한다

표본추출틀(sampling frame)은 조사 대상을 뽑는 데 실제로 사용하는 명단이나 단위의 목록이다. 목표 모집단이 전체 시스템 사용자여도 로그인에 성공한 사용자만 명단에 넣었다면 접속에 실패한 사용자는 뽑힐 기회부터 사라진다. 이 누락은 응답하지 않은 경우와 다르다.

추출단위는 뽑는 대상이고 관측단위는 값을 재는 대상이다. 이번 예는 두 단위를 모두 사용자 한 명으로 정한다. 같은 사용자의 접속기록 10행을 서로 다른 사용자 10명으로 세지 않고, 지사 이동·중복 계정·휴면 여부를 조사 기준일의 규칙으로 정리한다.

확률표본은 선택 확률을 설계에 포함한다

단순무작위 비복원추출(simple random sampling without replacement)은 N개 단위에서 크기 n인 모든 부분집합이 같은 확률로 선택되게 하되 같은 단위를 중복으로 뽑지 않는 방법이다. 이때 한 단위의 포함확률은 n/N이다. 확률표본은 더 넓은 개념으로, 목표 단위마다 알려진 양의 포함확률이 있어야 한다. [S1]

100명에서 10명을 이 방법으로 뽑으면 각 사람의 포함확률은 10/100=0.1이다. 반면 먼저 자원한 10명을 고르는 것은 크기가 같아도 같은 설계가 아니다. 표본추출틀에 없는 사람의 포함확률 0을 아주 큰 가중치로 고칠 수도 없다.

층화와 군집은 ‘나눴다’는 모양만 보고 구별하지 않는다

층(stratum)은 표본을 뽑기 전에 모집단을 서로 겹치지 않게 나눈 집단이다. 층화추출에서는 각 층에서 표본을 뽑는다. 두 지사를 층으로 정했다면 두 지사 모두 조사에 들어가지만, 군집추출로 지사 일부를 먼저 뽑았다면 선택되지 않은 지사는 조사에 들어가지 않을 수 있다.

이번 절의 수치 계산은 각 지사 안의 단순무작위 비복원추출을 사용한다. 다른 설계에 이 분산 공식을 그대로 복사하지 않는다.

ST-S: 예산과 작은 지사 확보 조건으로 실제 배분을 정한다

가상 기관의 평가기간 적격 사용자는 A 지사 800명, B 지사 200명으로 총 1,000명이다. 두 명단은 중복·누락이 없고 모든 사람의 지사가 조사 전에 확정됐다고 가정한다. 만족도는 같은 문항의 0~100점으로 한 사람에게 한 번 묻는다. 실제 기관의 조사 결과가 아닌 교육 자료다.

조사 예산은 120명, B 지사 별도 검토를 위한 추출 계획은 40명이다. 따라서 B에서 40명, 남은 80명은 A에서 뽑는다. 각 지사 안에서는 단순무작위 비복원추출을 하고 두 지사의 추출은 서로 독립적으로 수행한다. 이 배분은 명시한 예산·소집단 확보 조건을 만족시키는 선택이지, 목표 정밀도나 응답자 40명을 보장하는 최적 배분은 아니다.

인원에 비례해 96명·24명을 뽑는 대안은 B의 추출 계획 40명을 충족하지 못해 채택하지 않는다. 편의표본은 포함확률을 알 수 없어 전체 평균을 추정할 주 설계로 쓰지 않는다. 결과를 보기 전에 전체 평균의 교육용 판단 기준을 60점으로 정하되, 이번 조사는 평균 만족도 조사이지 시스템 도입의 인과효과 실험은 아니다.

군집 안의 관측을 모두 독립이라고 세지 않는다

학교를 뽑은 뒤 같은 학교 학생 여러 명을 조사하면 환경을 공유해 관측값이 서로 비슷할 수 있다. 행 수가 많다는 이유로 모두 독립 표본처럼 계산하면 불확실성을 지나치게 작게 볼 수 있다. 표본설계가 분산 계산에 들어가야 한다.

응답하지 않은 사람은 표본에서 사라진 것이 아니다

100명을 추출했는데 60명만 응답했다면 분석 표가 60행이라는 사실과 원래 추출 표본이 100명이라는 사실을 함께 기록한다. 응답자와 비응답자의 특성이 다르면 단순 응답자 평균이 모집단 평균을 대표하지 않을 수 있다.

ST-2: 응답률만 높아도 충분하지 않다

두 조사 모두 100명을 뽑았다. 조사 A는 90명이 응답했고 특정 야간근무자는 거의 응답하지 않았다. 조사 B는 70명이 응답했지만 근무형태별 응답률이 비슷했다. 단순 응답률 90%가 항상 더 작은 비응답 편향을 뜻하지 않는다. 누가 빠졌는지가 중요하다.

4. 추정은 점 하나와 불확실성 범위를 함께 읽는다

표본평균은 모집단평균의 하나의 추정치다. 다른 표본을 뽑으면 값이 달라지므로 표준오차와 신뢰구간으로 표본 변동을 표현한다. 계산식과 기본 해석은 앞의 평균·분산·표본·추정에서 배운 정의를 재사용한다.

큰 표본은 무작위 흔들림을 줄이지만 선택편향을 고치지 않는다

다른 조건이 같다면 표본이 커질수록 평균의 표준오차는 작아진다. 그러나 특정 사용자만 참여하는 설문을 백만 명으로 늘려도 조사에 들어오지 않는 집단이 체계적으로 다르면 그 선택편향은 자동으로 사라지지 않는다.

ST-3: 표본을 네 배로 늘리면 무엇이 줄어드는가

독립·동일분포 관찰에서 모집단 표준편차가 10이라고 하자. 또는 단순무작위 비복원추출이라도 추출 비율이 충분히 작아 유한모집단 보정을 무시할 수 있다고 가정한다. 이 조건에서 표본 크기를 25에서 100으로 늘리면 평균의 표준오차는 10/√25=2에서 10/√100=1로 절반이 된다. 모집단의 개별 값의 표준편차 10이 절반으로 줄어든 것은 아니다. 유한모집단에서 추출 비율이 커지거나 군집·시간 의존성이 있으면 이 비율을 그대로 적용하지 않고 뒤의 설계분산처럼 실제 추출 설계에 맞춰 계산한다.

신뢰구간은 반복 절차의 성질로 해석한다

빈도주의 95% 신뢰구간은 같은 표본추출과 계산 절차를 반복했을 때 만들어지는 구간의 장기 포함률을 약 95%로 맞춘 절차다. 한 번 얻은 특정 구간 안에 고정된 모수가 95% 확률로 들어 있다고 표현하지 않는다.

좁은 신뢰구간도 잘못된 표본을 구하지 못한다

편향된 표본이 매우 크면 신뢰구간은 좁아질 수 있다. 이는 주어진 표본설계·모형 아래 무작위 변동이 작다는 뜻이지 목표 모집단을 제대로 대표했다는 증거가 아니다. 정밀도와 타당성을 분리한다.

5. 가중치는 무엇을 얼마나 대표하는지 적는 규칙이다

설계가중치(design weight)는 표본에 포함될 확률의 역수다. ST-S의 A 사용자는 80/800=0.1의 확률로 뽑히므로 가중치가 10이고, B 사용자는 40/200=0.2이므로 가중치가 5다. B를 상대적으로 많이 뽑았으므로 관측 한 명이 대표하는 인원은 오히려 작다.

가중치 10은 그 사람의 응답이 10명에게서 실제로 관측됐다는 뜻이 아니다. 추정 합계에 그 응답을 얼마나 반영할지 정한 계수다. 이를 자료 10행의 복제나 독립 표본 10명으로 해석하면 불확실성을 잘못 계산한다.

ST-S 계산: 응답자 평균 60점과 모집단 추정 56점은 다르다

먼저 추출된 120명이 모두 응답한 경우다. 아래 평균과 표준편차는 계산 입력으로 주어진 가상 요약자료이며 120개의 원자료를 실제로 조사했다는 주장이 아니다.

표의 아래첨자 h는 지사 A 또는 B를 가리킨다. N_h는 그 지사의 모집단 인원, n_h는 여기서 모두 응답한 추출 인원이며, 뒤의 N은 두 지사를 합친 모집단 인원이다.

단순히 120명을 합친 평균은 (80×50+40×80)/120=60점이다. 이는 관측한 응답자의 기술통계다. 그러나 모집단의 B 비중은 20%인데 표본에서는 1/3이므로 전체 사용자 평균의 추정에는 설계를 반영해야 한다.

A의 추정 점수 합은 80×10×50=40,000, B는 40×5×80=16,000이다. 대표 인원 합은 80×10+40×5=1,000이므로 전체 추정은 56,000/1,000=56점이다. 같은 계산을 모집단 비중으로 쓰면 (800/1,000)×50+(200/1,000)×80=56이다. 전체 사용자의 평균이 목표이므로 두 지사 평균을 단순 평균한 (50+80)/2=65점도 사용하지 않는다. [S2]

더 작은 수로 같은 구조를 확인해 보자. A 90명·B 10명에서 각각 10명을 뽑고 평균이 40·80이면 설계가중치는 9·1이며 전체 추정은 44점이다. ST-S는 이를 표본 배분·구간·비응답·완성 답안으로 확장한다.

표본을 뽑은 방식에 맞춰 표준오차까지 계산한다

h는 지사 번호, W_h=N_h/N은 모집단 비중, f_h=n_h/N_h는 추출률이다. ST-S에서는 W_A=0.8, W_B=0.2이고 f_A=0.1, f_B=0.2다. s_h는 위 표의 지사별 표본 표준편차다.

유한모집단 보정(finite population correction)은 비복원추출로 모집단의 일부를 이미 관찰한 비율을 표본추출 분산에 반영하는 조정이다. 아래 식의 (1−f_h)가 그 계수다. 한 지사를 전수조사하여 n_h=N_h이면 그 지사의 표본추출 변동은 0이 되지만 측정오류까지 0이 되는 것은 아니다.

각 지사에서 독립적으로 단순무작위 비복원추출한 경우, 전체 가중 평균의 추정 분산은 지사별 평균의 분산에 비중의 제곱을 곱해 더한다. 표준편차를 그대로 더하거나 전체 120명을 하나의 단순표본으로 바꾸지 않는다. [S2]

추정 분산 = W_A²(1−f_A)s_A²/n_A + W_B²(1−f_B)s_B²/n_B
          = 0.8²×0.9×10²/80 + 0.2²×0.8×20²/40
          = 0.72 + 0.32 = 1.04점²
표준오차 SE = √1.04 ≈ 1.020점

평균 추정량의 정규근사가 타당하다고 가정하면 근사 95% 신뢰구간은 56±1.96×√1.04, 약 [54.001,57.999]점이다. 1.96과 구간의 반복절차 해석은 앞의 평균·분산·표본·추정에서 배웠다. 이 구간은 유한모집단에서 정확히 95%를 보장하는 구간이 아니며, 극단적인 분포·작은 층 표본이나 다른 추출설계에는 그대로 적용하지 않는다.

이 조건에서는 구간 상한도 목표 60점보다 낮다. 단순 응답자 평균 60점만 보고 목표 달성이라고 보고하지 않는다. 설계를 반영한 추정값·근사 구간·가정을 함께 제시한다.

비응답이 생기면 같은 56점이어도 근거가 달라진다

ST-S의 별도 상황으로 A는 추출 80명 중 64명, B는 40명 중 20명만 응답했다고 하자. 응답자 평균·표준편차는 각각 50·10점과 80·20점으로 주어졌다고 가정한다. 전체 응답률은 84/120=70%지만 지사별로는 80%와 50%다. 비응답자를 0점으로 채우거나 원래 추출 수를 84명으로 바꾸지 않는다.

비응답 가중 보정은 응답자가 응답하지 않은 대상도 대표할 수 있다는 가정 아래 설계가중치를 응답확률의 추정값 등으로 조정하는 방법이다. 지사 안 응답확률이 같다는 교육 가정으로 지사별 응답률을 사용하면 A의 보정 가중치는 10/0.8=12.5, B는 5/0.5=10이다. 실제 조사는 응답 성향을 설명할 변수를 정하고 이 가정의 타당성을 검토해야 한다. [S3][S4]

대표 인원은 64×12.5=800명과 20×10=200명이다. 따라서 보정 추정은 (800×50+200×80)/1,000=56점이고, 응답자 단순 평균 (64×50+20×80)/84≈57.143점과 다르다. 가중치 합이 1,000이라고 관측하지 않은 916명의 값을 알아낸 것은 아니다.

추출 후 지사 안에서 결과와 무관하게 동일한 확률로 응답하고, 응답수 r_h를 조건으로 응답자 집합이 단순무작위 r_h명과 같다는 강한 가정을 추가하면 앞 식의 n_h를 실제 응답수 64·20으로 바꿀 수 있다. 이 조건부 교육 모형의 추정 분산은 0.8²×(1−64/800)×10²/64 + 0.2²×(1−20/200)×20²/20 = 0.92+0.72=1.64점²다. 정규근사 구간은 56±1.96×√1.64≈[53.490,58.510]점으로 넓어진다. 비응답 보정 일반에 항상 적용되는 분산식이 아니라 이 균등 응답 가정에서의 자체 유도다.

같은 응답 자료와 양립하는 두 경우를 생각해 보자. 원래 뽑힌 비응답자 A 16명·B 20명의 점수가 모두 0이면 원래 추출 표본의 지사별 평균은 40·40점이고 가중 평균도 40점이다. 모두 100이면 지사별 평균은 60·90점이고 가중 평균은 66점이다. 40~66은 이 미관측 점수의 경계에서 나온 원래 추출 표본의 가능한 가중 평균 범위이지 모집단의 95% 신뢰구간이 아니다.

그러므로 응답 성향을 확인하지 못하면 조건부 추정 56점과 근사 구간을 실제 편향까지 통제한 결과로 확정하지 않는다. 지사별 후속 연락과 비응답 사유·특성 대조를 우선하고 모집단 목표 달성 판단은 보류한다. B의 응답이 0명이라면 그 층의 보정 평균은 계산할 수 없으므로 B를 버리고 A만 전체로 다시 정규화하지 않는다.

보고서에는 계산보다 먼저 분모를 남긴다

목표 모집단·기간, 표본틀과 누락 범위, 추출·관측 단위, 층별 추출 수와 응답 수를 먼저 적는다. 이어 가중치의 근거, 원자료 확인 결과, 점추정·표준오차·구간과 가정을 남긴다. 전수명단의 크기, 추출 수, 응답 수, 가중치 합은 서로 다른 숫자이므로 한 칸으로 합치지 않는다.

ST-S 조사계획을 실제 담당·산출물·중단 조건으로 쓴다

조사 담당자는 평가기간의 적격 사용자 명단을 A 800명·B 200명으로 확정하고 중복·누락·지사 배정을 검토한다. 분석 담당자는 결과를 보기 전에 80명·40명의 추출 규칙, 0~100점 공통 문항, 전체 평균 60점 기준, 종료일과 연락 계획을 기록한다. 난수 생성 방법·설정과 뽑힌 ID를 보존하고, 연락이 쉬운 동료로 비응답자를 임의 교체하지 않는다.

자료 담당자는 추출 ID와 응답을 대조해 중복 응답, 범위 밖 값, 지사 오류와 결측을 확인한다. 0점은 실제 0점 응답일 때만 남기고 비응답·부분응답은 별도로 기록한다. 이상값을 삭제할 때는 확인된 측정 오류와 수정 근거를 남기며 불편한 결과라는 이유로 지우지 않는다.

완전 응답 자료의 보고 산출물은 지사별 요약표, 추출률·가중치 표, 전체 추정 56점과 근사 구간 [54.001,57.999]점, 목표 60점 미달 판단과 가정이다. 비응답 상황의 산출물은 80/64·40/20의 추출/응답 대조, 보정 가중치 12.5·10, 조건부 56점·구간 [53.490,58.510]점과 응답 가정의 미확인 사항이다.

명단 누락, 응답 0명인 지사, 결과와 관련된 비응답이 해결되지 않으면 전체 사용자에 대한 확정 판단을 보류한다. 보고 책임자는 표본설계와 조건부 결과를 확인하고 보완조사를 별도 계획으로 결정한다. 실제 승인이 이루어졌다는 뜻이 아니라 교육용 역할 설계다. 지사가 10개라면 같은 절차를 각 지사에 적용하고 모집단 비중·분산 기여를 모든 지사에 대해 합산한다.

공식 범위 연결 — 통계 분석

공식 통계 분석에서 기술통계·표본설계·추정은 계산 공식의 나열이 아니라 대상 모집단·추출 과정·관측 구조·요약·불확실성을 연결하는 판단이다. 다음 절의 가설검정은 이 표본과 추정의 계약 위에서 시작한다.

출처와 적용 경계

[S1] Shalabh, IIT Kanpur, Sampling Theory, Chapter 2: Simple Random Sampling, PDF 2~4쪽의 동일 확률 부분집합·포함확률 n/N 유도. https://home.iitk.ac.in/~shalab/sampling/chapter2-sampling-simple-random-sampling.pdf

[S2] Shalabh, IIT Kanpur, Sampling Theory, Chapter 4: Stratified Sampling, PDF 3~6쪽의 층별 독립 비복원추출·모집단 평균·분산과 15쪽의 추정 분산·정규근사 신뢰구간. https://home.iitk.ac.in/~shalab/sampling/chapter4-sampling-stratified-sampling.pdf

[S3] Statistics Canada, Survey Methodology (2021), “With-replacement bootstrap variance estimation for household surveys: Principles, examples and implementation”, Section 2.1.2, response homogeneity groups와 응답확률 보정식 (2.5)~(2.7). https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/2021002/article/00005/02-eng.htm

[S4] Statistics Canada, Analytical Guide: Canadian Perspectives Survey Series 4, Information Sources Consulted During the Pandemic, 3.0·4.1.1~4.1.3·5.0절의 후속 연락·비응답·표본틀·측정 오류·가중치 설명. https://www.statcan.gc.ca/en/statistical-programs/document/5311_D4_V1

확인일은 2026-09-17이며 웹 관찰일을 최초 발행일이나 독립 승인일로 사용하지 않는다. 대학 강의는 표본이론의 1차 설명이지 한국의 법령·공식 채점기준이 아니다. S3의 논문은 보정 방법의 근거이며 이 교재가 그 논문의 다단계·부트스트랩 전체를 구현한 것은 아니다. S4의 과거 캐나다 조사도 방법의 맥락 근거이지 ST-S 자료가 아니다. 원문 문장·예제·도표를 복제하지 않고 표준 수학 관계의 독립 설명과 자체 가상 자료를 사용한다. 별도 기술·권리 감수는 남아 있다.

모집단·평균·분산·표준오차·신뢰구간과 검정오류는 앞의 평균·분산·표본·추정 및 가설검정 설명을 재사용한다. ST-S의 인원·만족도·역할·기준은 모두 자체 교육 가정이고 실제 조사·인과효과·공식 채점 결과가 아니다. 완전 응답 설계의 분산식과 강한 응답 가정 아래의 조건부 예를 구별한다. 모든 복합 표본·가중치 추정·비응답 처리 방법을 이 절에서 완결했다고 주장하지 않는다.

6. 한 장으로 정리하기

• 기술통계는 관찰 자료를 요약하고 추론은 모집단까지 말하려는 단계다.
• 목표 모집단·표본틀·추출단위·관측단위를 먼저 구분한다.
• 확률표본·층화·군집 등 설계가 불확실성 계산과 일반화 범위를 정한다.
• 큰 표본은 무작위 오차를 줄여도 선택편향을 자동 제거하지 않는다.
• 신뢰구간·가중치·결측·비응답의 가정을 함께 보고한다.

7. 자체 10점 문제

기술통계와 통계적 추론의 차이를 설명하고, 표본 크기가 매우 큰 경우에도 모집단 대표성이 보장되지 않는 이유를 표본설계 관점에서 설명하시오.

요구어는 설명이다. 기술통계/추론의 경계와 정밀도/편향의 경계를 각각 분리해야 한다.

8. 자체 25점 문제 — 지사별 조사에서 전체 판단까지

평가기간 적격 사용자가 A 지사 800명·B 지사 200명인 가상 기관이 0~100점 만족도의 전체 사용자 평균을 추정하려 한다. 추출 예산은 120명이며 B 지사에서 40명을 추출하기로 했다. 전체 평균의 사전 판단 기준은 60점이다. 표본틀·추출·기술통계·가중 추정·불확실성 보고를 설계하시오. 80명·40명 모두 응답하고 평균이 50·80점, 표본 표준편차가 10·20점일 때 계산과 판단을 제시하시오. 별도 상황으로 응답이 64명·20명뿐이고 응답자의 평균·표준편차가 같다면 비응답 보정과 한계를 포함하시오.

요구어는 설계·계산·판단·포함이다. 120명은 주어진 예산이지 정밀도 보장값이 아니다. ST-S의 공식과 1.96을 사용하되 완전 응답과 비응답 상황을 섞지 않는다. 실제 기출·공식 채점표가 아닌 자체 교육 문제이며, 두 지사로 산술을 단순화했지만 표본틀·배분·추정·비응답·구간의 요구는 모두 유지한다.

9. 내 답안을 고칠 때 먼저 볼 여덟 문장

복습: ST-S 설계조건, 가중치, ST-S 계산, 분산과 구간, 비응답, 조사계획.

교육용 자기점검은 대상·추출, 가중 평균, 분산·단위, 비응답 가정, 보류 조건의 다섯 영역이다. 각 영역에서 올바른 문장과 근거 본문을 하나씩 찾고 빠진 영역부터 수정한다. 공식 배점·합격점 예측이 아니며 전체 점수가 높아도 분모나 결론을 뒤집은 오류는 먼저 고친다.

조건을 바꿔도 같은 판단을 할 수 있는가

연습 1: ST-S의 B 평균만 90점이고 표준편차·인원은 같다면?

연습 2: 가중치 10·5를 1·0.5로 함께 나누면 평균은 달라질까?

면접에서는 ‘왜 층화인가’에 작은 지사도 정한 수만큼 추출하려는 목적을 답한다. ‘가중치로 다 해결되는가’에는 명단 누락·점수와 연관된 비응답·측정오류는 별도라고 설명한다. 가상 사례는 판단 연습이지 본인의 수행 경력이 아니다.

10. 잭나이프: 한 명을 빼 볼 때마다 무엇이 달라지는가

평균 처리시간을 구했는데 한 사람의 기록에 결과가 크게 의존하는지 궁금하다. 매번 새 사람을 모집할 수 없다면, 이미 가진 자료에서 한 명씩 제외하여 같은 계산을 반복해 볼 수 있다. 다만 반복 결과가 서로 겹친 자료에서 나온다는 점을 잊으면 불확실성을 오히려 잘못 계산한다.

보존된 140회 문제의 요구는 잭나이프의 편향 감소와 분산 추정이다. 둘을 구별하기 위해 같은 작은 자료로 평균의 표준오차를 구한 뒤, 분산을 작게 추정하는 계산의 편향을 보정한다. 아래 수치와 서비스 상황은 자체 가상 교육 자료이고 공식 기준답안·실측 자료가 아니다.

앞서 배운 표본평균·표본분산·표준오차와 모집단 판단의 경계를 사용한다. 필요한 선수 설명은 평균·분산·표본·추정에 있고, 여기서는 추가 재표집 절차를 배운다.

잭나이프의 범위와 세 가지 수

삭제-1 잭나이프는 관측 단위를 하나씩 제외한 자료에서 같은 통계량을 다시 계산하여 추정량의 편향과 표본변동을 평가하는 재표집 방법이다.

독립이고 같은 분포에서 얻은 관측값 n개를 기본 대상으로 한다. 자료 전체로 계산한 통계량을 θ̂(세타 햇), i번째 관측만 제외한 값을 θ̂_(i), 제외값 n개의 평균을 θ̄_−라고 쓰자. θ̂는 계산값이고 θ는 알고 싶은 모집단 특성이다. 평균을 추정할 때는 θ가 모집단 평균이고, 분산을 추정할 때는 θ가 모집단 분산이 된다.

원자료는 n개, 각 제외 자료는 n−1개, 제외 계산의 횟수는 n회다. 하나를 제외한 뒤 원자료로 돌아와 다음 대상을 제외한다. 앞서 제외한 대상을 계속 누적해서 지우지 않고, 영향이 큰 관측을 영구 삭제하여 유리한 결과를 고르는 방법도 아니다. 일반적인 유한 표본에서 편향·분산 추정의 정확성이 무조건 보장되는 것은 아니다. [J1][J2]

JK-1: 다섯 처리시간에서 제외 평균을 직접 만든다

서로 다른 사용자 다섯 명의 처리시간이 3,5,7,9,11초라고 하자. 이 예에서는 완전 응답과 독립·동일분포 관찰을 가정하며, 앞 ST-S의 지사별 층화·가중 표본과는 별도 상황이다. 전체 평균은 35/5=7초다.

제외 평균의 평균은 (8+7.5+7+6.5+6)/5=7초다. 전체 평균과 같지만, 제외 평균들이 모두 같은 것은 아니다. 작은 3을 제외하면 평균이 커지고 큰 11을 제외하면 평균이 작아진다.

각 행은 네 사람의 자료이며 행끼리 세 사람의 자료를 공유한다. 표에 다섯 행이 있다고 독립적인 새 표본 다섯 개를 얻은 것은 아니다. 이 겹침 때문에 아래 전용 계수를 사용한다.

편향·보정값·분산·표준오차를 서로 다른 칸에 쓴다

편향은 같은 표본추출을 반복했을 때 추정량의 평균이 목표 모수에서 체계적으로 벗어나는 정도다. 한 번 관찰한 오차나 앞 절의 표본틀 누락 자체와 같은 말은 아니다. 잭나이프는 제외 전후의 변화로 이 추정량 편향을 추정한다. [J1]

제외값 평균        θ̄_− = (θ̂_(1)+…+θ̂_(n))/n
편향 추정          b_J = (n−1)(θ̄_−−θ̂)
편향 보정 추정값   θ̂_J = θ̂−b_J = nθ̂−(n−1)θ̄_−
분산 추정          V_J = (n−1)/n × Σ(θ̂_(i)−θ̄_−)²
표준오차           SE_J = √V_J

Σ는 i=1부터 n까지 각 항을 모두 더하라는 기호다. 잭나이프 분산은 원래 통계량의 표본변동을 추정하는 값이며, 제외값 평균 주위의 제곱편차 합에 (n−1)/n을 곱한다. 표준오차는 그 제곱근이므로 평균의 단위가 초이면 분산은 초², 표준오차는 초다. 이 기본 V_J를 모든 편향 보정 통계량 θ̂_J의 정확한 분산이라고 해석하지 않는다. [J1][J2]

JK-1에서는 b_J=4×(7−7)=0, θ̂_J=7초다. 제곱편차 합은 1²+0.5²+0²+(−0.5)²+(−1)²=2.5초²이고 V_J=(4/5)×2.5=2초², SE_J=√2≈1.414초다.

제외 평균들의 표본표준편차는 √(2.5/4)≈0.791초이고, 이를 다시 √5로 나누면 약 0.354초다. 두 값 모두 여기서 구할 SE_J가 아니다. 편향 추정 0과 표준오차 0은 다르다.

왜 제외 평균의 차이에 n−1을 곱하는가

표본 크기 n에서 생기는 주된 편향이 대략 a/n이라고 생각해 보자. a는 자료 크기에 따라 바로 달라지지 않는 계수다. 하나를 제외한 크기 n−1에서는 주된 편향이 a/(n−1)이다. 두 편향의 차이는 a/[n(n−1)]이고 여기에 n−1을 곱하면 원래 크기의 주된 편향 a/n을 얻는다. 그래서 제외 평균과 전체 추정값의 차이에 n−1을 곱해 보정할 크기를 추정한다. [J1]

이는 편향이 이런 형태로 전개되고 통계량이 충분히 매끄럽게 변한다는 조건에서의 설명이다. 통계량이 자료의 작은 변화에 갑자기 뛰거나, 높은 차수의 항을 무시하기 어려우면 그대로 성공한다고 보장하지 않는다. 편향을 줄였어도 변동성이 커질 수 있으므로 모든 추정 성능이 항상 좋아진다는 뜻도 아니다.

편향 보정은 원래 추정값에서 추정된 편향을 빼는 것이므로 편향 추정이 음수이면 보정값은 커진다. 모집단의 참값을 모르는데 실제 편향을 정확히 측정했다는 뜻은 아니며, 누락된 사용자 집단을 되살리는 보정도 아니다.

JK-2: 편향 추정이 실제로 0이 아닌 예

같은 다섯 값의 모집단 분산을 추정하되, 우선 편차제곱합을 관측수로 나누는 통계량 v_n을 택한다. 앞에서 배운 n−1 분모의 표본분산 s²와 일부러 구별한다. 전체 평균 7초에 대한 편차제곱합은 16+4+0+4+16=40초²이므로 v_5=40/5=8초²다.

하나를 제외할 때마다 남은 네 값의 평균도 다시 구하고, 그 평균 주위의 제곱편차 합을 4로 나눈다. 원래 평균 7과 원래 분모 5를 고정해 놓고 한 항만 빼면 같은 통계량의 재계산이 아니다.

제외 분산 평균은 (5+8.75+10+8.75+5)/5=7.5초²다. 따라서 b_J=4×(7.5−8)=−2초², v_J=8−(−2)=10초²다. 앞에서 배운 불편 표본분산 s²=40/(5−1)=10초²와 일치한다.

독립·동일분포이고 모집단 분산이 유한하면 v_n의 반복표본 평균은 (n−1)/n배의 모집단 분산이다. 이 특정 통계량의 잭나이프 보정은 n−1 분모의 불편분산과 같아진다. 그러나 실제 모집단 분산이 정확히 10이라는 뜻은 아니다. JK-2의 원래 분산 추정은 8초², 제외 분산 평균은 7.5초², 편향 추정은 −2초²이므로 보정값은 10초²다.

여기서 10초²는 처리시간의 모집단 분산 추정값이고, JK-1의 2초²는 평균 추정량의 분산 추정값이다. 차원이 같아도 서로 다른 질문의 답이다. 이 표는 J1의 보정식과 자체 자료에서 직접 계산한 것이며, 원문의 예제를 복제한 것이 아니다.

0이 나왔을 때 오히려 점검해야 하는 경우

JK-M의 다섯 값 1,1,1,1,20에서 중앙값은 1이다. 하나씩 제외한 네 값의 중앙값도 전부 1이다. 짝수 개의 중앙값은 가운데 두 값의 평균으로 정했다. 따라서 삭제-1 중앙값의 V_J는 0이다.

제외값이 모두 같아 잭나이프 분산이 0이어도 모집단 특성이 확실히 알려졌다고 결론 내릴 수 없다. 중앙값·분위수처럼 매끄럽지 않은 통계량에서는 기본 삭제-1 잭나이프가 표본변동을 잘 표현하지 못할 수 있다. 이 반례는 이 자료에서의 퇴화를 보여줄 뿐 모든 중앙값 문제의 해법을 제공하지 않는다. [J2]

같은 사람의 반복 클릭, 연속된 시점, 층화·군집·가중 표본에 독립 행 가정의 식을 그대로 쓰지 않는다. 특히 앞 ST-S는 층화 비복원추출과 설계가중치가 있으므로 JK-1의 무가중 공식을 대입하면 설계분산 1.04를 대체할 수 없다. 조사설계에 맞는 반복가중치·삭제 단위 등을 별도로 정해야 하며 여기서는 그 일반 공식을 구현하지 않았다.

자료를 반복 가공해도 표본틀에서 빠진 사람의 값이나 결과와 관련된 비응답을 관찰한 것이 아니다. 빈 제외 자료(n<2), 계산 불가능한 통계량, 계산 실패가 생기면 유효한 반복만 골라 성공처럼 보고하지 않는다.

하나씩 제외한다는 모양보다 목적을 본다

J1은 잭나이프와 교차검증을 별도 절에서 다룬다. 같은 n−1개 자료를 만들더라도 남은 자료의 통계량 변화를 모으는 것과 제외한 대상의 예측오차를 모으는 것은 다르다. 잭나이프 계산에 n회가 필요하다는 사실만으로 n번의 독립 관찰을 했다고 보지 않는다. 단순 평균처럼 갱신식을 쓰면 계산을 줄일 수 있지만, 복잡한 모형을 매번 재적합하면 비용이 커질 수 있다.

작은 분석 의뢰를 실제 산출물로 마무리한다

자료 담당자는 서로 다른 다섯 사용자의 ID, 동일한 측정 조건·단위, 중복·결측·극단값의 사실 여부를 확인한다. 분석 담당자는 평균과 v_n을 각각 계산 대상으로 고정하고, 원자료를 유지한 채 제외 ID·남은 값·재계산 평균·재계산 분산의 표를 만든다. 복잡한 분석에서는 전처리와 모형 적합도 각 제외 자료에서 정한 절차대로 수행한다.

보고서는 원자료 5명, 제외 자료 4명씩 5회, 평균 7초·표준오차 약 1.414초, v_5=8초²·편향 추정 −2초²·보정 10초²를 서로 다른 항목으로 남긴다. 한쪽 값만 골라 ‘오차가 없다’거나 ‘분산이 2에서 10으로 나빠졌다’고 보고하지 않는다. 두 표와 사용한 식, 독립·동일분포·완전 관찰 가정, 코드의 입력 버전을 함께 남긴다.

검토 담당자는 JK-1의 SE가 앞서 배운 s/√n=√10/√5=√2와 일치하는지, JK-2가 s²=10과 일치하는지 대조한다. 각 제외값은 새 표본이 아니고 보정값은 참값이 아니라는 문장을 확인한다. 군집·시간 의존성·누락·비매끄러운 통계량이 있으면 이 간단한 설계의 적용 판단을 보류한다. 신뢰구간은 별도 분포·근사 가정이 필요하므로 5명이라는 이유만으로 1.96을 붙여 정확한 95% 구간이라고 하지 않는다.

잭나이프 근거와 기출 연결의 경계

[J1] Stanford STAT208, Lectures, “The jackknife”, “The jackknife estimate of variance”, “Cross Validation”: 삭제값, 편향 보정, 분산식과 예측 검증의 구별. https://web.stanford.edu/class/stat208/node3.html

[J2] Introduction to Computational Finance and Financial Econometrics with R, 8.5 “The Jackknife”의 스칼라 표준오차 식 (8.10)·표본평균 유도, 8.5.2 “Pros and Cons of the Jackknife”: 평균 SE의 관계와 비매끄러운 통계량의 한계. https://bookdown.org/compfinezbook/introcompfinr/The-Jackknife.html

[J3] CRAN bootstrap package, jackknife reference, “Value”: jack.se·jack.bias·jack.values의 의미와 n개의 삭제값. 선택적인 구현 확인용이며 본문 이해에 R 실행을 요구하지 않는다. https://search.r-project.org/CRAN/refmans/bootstrap/html/jackknife.html

위 공개 원문은 2026-09-17에 관찰했다. 관찰일은 최초 발행일·한국 공식 기준·사람 독립 승인일이 아니다. 표준 수학 관계를 자체 자료로 계산했고 원문 예제·문장·도표를 복제하지 않았다. 공개 배포 권리·독립 기술 감수는 별도로 남아 있다.

보존기출 연결은 IM-0140-P01-Q07, 문제지 1쪽 7번의 ‘편향 감소와 분산 추정을 위한 잭나이프 기법’이다. 연결된 원본 PDF의 SHA-256은 ebc8901a771dab01a8ffa4f4eead439cce70c3fa48595e613acd205574ca65a1이다. 원문 바이트·텍스트 대조와 사람 문항·시각 검증은 구별한다. 아래 문항은 해당 요구를 가르치기 위한 자체 문제이고 원문 문항·공식 채점표나 공식 기준답안이 아니다.

11. 자체 10점 문제 — 잭나이프를 설명하고 적용하기

삭제-1 잭나이프의 재계산 절차, 편향 보정 및 분산·표준오차 추정 원리와 적용 한계를 설명하시오.

요구를 절차·계산·해석·한계로 나눈다. 아래 완성 답안의 각 논점은 앞선 JK 본문에서 배운 내용이며, 교육용 구성이지 공식 채점 배점이나 예상 득점이 아니다.

12. 자체 25점 문제 — 잭나이프를 설명하고 적용하기

서로 다른 다섯 사용자의 처리시간이 3,5,7,9,11초인 가상 자료에 독립·동일분포·완전 관찰을 가정한다. 평균의 삭제-1 잭나이프 편향·표준오차와, 편차제곱합을 관측수로 나눈 분산 통계량의 편향 보정값을 계산하시오. 재계산·검산·보고 절차를 제시하고, 다섯 행이 한 사용자의 연속 기록으로 바뀔 때의 한계를 설명하시오.

요구를 절차·계산·해석·한계로 나눈다. 아래 완성 답안의 각 논점은 앞선 JK 본문에서 배운 내용이며, 교육용 구성이지 공식 채점 배점이나 예상 득점이 아니다.

13. 잭나이프 답안의 여덟 오답을 고친다

먼저 식을 가리고 제외 단위·원래 통계량·편향과 표준오차·한계의 네 가지를 설명한다. 이어 틀린 문장 하나를 골라 수치와 이유를 포함해 다시 쓴다. 위 표는 교육용 자기교정이며 공식 점수표가 아니다.

조건을 바꾼 뒤 답안을 가리고 다시 풀기

문제 A. JK-1의 모든 값에 2초를 더하면 평균·편향·표준오차·분산 보정값은 어떻게 변할까? 문제 B. 초를 밀리초로 바꾸어 모든 값에 1,000을 곱하면? 문제 C. JK-M에서 중앙값의 SE가 0이라는 보고를 받으면 무엇을 추가 확인할까?

면접에서는 ‘하나씩 뺐는데 왜 독립 표본이 아닌가’, ‘평균은 보정하지 않는데 분산은 왜 보정되는가’, ‘LOOCV와 무엇이 다른가’를 차례로 설명한다. 막히면 제외표, 편향 보정, 목적 비교로 돌아간다.

직접 연습: 표본 수보다 먼저 모집단과 삭제 단위를 고정한다.

아래 계산은 표본설계의 조건을 바꾸는 교육용 사례다. 분산이 작아졌다는 사실만으로 표본틀 누락이나 측정 오류가 해결되지는 않는다.

1. FP-1. 같은 유한모집단 1,000명에서 각각 25명과 100명을 단순임의 비복원 추출하고 전원이 응답했다. 두 표본의 표본표준편차가 모두 10점이라고 주어졌다. 표본분산은 각 표본 크기에서 1을 뺀 분모로 계산했다. 유한모집단 보정을 포함한 평균의 추정 표준오차를 각각 구하고, 표본 크기가 네 배일 때 정확히 절반인지 판단하라. 두 조사 결과를 합치는 문제는 아니다.
2. JU-1. 서로 독립으로 뽑힌 사용자 A와 B가 있고, 사용자별 대푯값은 각각 0초와 10초다. 같은 대푯값을 로그에 두 번씩 복사해 네 행 0,0,10,10으로 저장했다. 목표는 사용자 대푯값의 평균이다. 잘못된 행별 삭제-1 계산의 제외 평균 네 개와 잭나이프 분산을 구하라. 이어 사용자별 대푯값 두 개에서 사용자 한 명을 제외하는 계산과 비교하라. 독립 단위 두 개만으로 정밀한 모집단 신뢰구간을 확정할 수 있는지도 설명하라.
3. FP-2. 실제 목표 모집단은 1,100명인데 표본틀에는 1,000명만 있고 나머지 100명은 빠졌다. 표본틀의 1,000명을 전부 정확히 측정한 평균은 50점이다. 빠진 사람의 점수는 0점 이상 100점 이하라는 것만 안다. 표본틀 전체를 조사해 표본추출 변동이 없어졌으니 목표 모집단 평균도 정확히 50점인지 판단하고, 주어진 정보로 가능한 목표 평균의 범위를 구하라.